Multiplicity and concentration of solutions to the nonlinear magnetic Schrödinger equation
Chao Ji, Vicenţiu D. Rădulescu
Abstract
Abstract In this paper, we study the following nonlinear magnetic Schrödinger equation $$\begin{aligned} \left\{ \begin{aligned}&\Big (\frac{\varepsilon }{i}\nabla -A(x)\Big )^{2}u+V(x)u=f(|u|^{2})u \quad \hbox {in }{\mathbb {R}}^N\ (N\ge 2),\\&u\in H^{1}({\mathbb {R}}^{N}, {\mathbb {C}}), \end{aligned} \right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mfenced><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd/><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo></mml:mrow><mml:mfrac><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:mfrac><mml:mi>∇</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>A</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>V</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mspace/><mml:mtext>in</mml:mtext><mml:mspace/></mml:mrow><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mspace/><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow/></mml:mtd><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>C</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> where $$\epsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>ϵ</mml:mi></mml:math> is a positive parameter, and $$V:{\mathbb {R}}^{N}\rightarrow {\mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>V</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow></mml:math> , $$A: {\mathbb {R}}^{N}\rightarrow {\mathbb {R}}^{N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>A</mml:mi><mml:mo>:</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:mrow></mml:math> are continuous potentials. Under a local assumption on the potential V , by combining variational methods, penalization techniques, and the Ljusternik–Schnirelmann theory, we prove multiplicity and concentration properties of solutions for $$\varepsilon >0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>ε</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> small. In our problem, the function f is only continuous, which allows to consider larger classes of nonlinearities in the reaction.