Regularity of minimizers for double phase functionals of borderline case with variable exponents
Maria Alessandra Ragusa, Atsushi Tachikawa
Abstract
Abstract The aim of this article is to study regularity properties of a local minimizer of a double phase functional of type <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">ℱ</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>≔</m:mo> <m:munder> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> </m:mrow> </m:munder> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>D</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>D</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>log</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>e</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>D</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mi mathvariant="normal">d</m:mi> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:math> {\mathcal{ {\mathcal F} }}\left(u):= \mathop{\int }\limits_{\Omega }({| Du| }^{p\left(x)}+a\left(x){| Du| }^{p\left(x)}\log \left(e+| Du| )){\rm{d}}x, being <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:math> p\left(x),a\left(x) log-continuous functions with <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>></m:mo> <m:mn>1</m:mn> </m:math> p\left(x)\gt 1 , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>a</m:mi> <m:mo>≥</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:math> a\ge 0 . Double phase functionals <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>∫</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>D</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>D</m:mi> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow>