On the third logarithmic coefficient in some subclasses of close-to-convex functions

Abstract

Abstract For analytic functions f in the unit disk $${\mathbb {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> normalized by $$f(0)=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and $$f'(0)=1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow></mml:math> satisfying in $${\mathbb {D}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>D</mml:mi></mml:math> respectively the conditions $${{\,\mathrm{Re}\,}}\{ (1-z)f'(z) \}&gt; 0,\ {{\,\mathrm{Re}\,}}\{ (1-z^2)f'(z) \}&gt; 0,\ {{\,\mathrm{Re}\,}}\{ (1-z+z^2)f'(z) \}&gt; 0,\ {{\,\mathrm{Re}\,}}\{ (1-z)^2f'(z) \} &gt; 0,$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Re</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Re</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Re</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:msup><mml:mi>z</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>Re</mml:mi><mml:mspace/></mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>z</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:math> the sharp upper bound of the third logarithmic coefficient in case when $$f''(0)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>′</mml:mo><mml:mo>′</mml:mo></mml:mrow></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is real was computed.

Topics & Concepts