Double-phase parabolic equations with variable growth and nonlinear sources

Abstract

Abstract We study the homogeneous Dirichlet problem for the parabolic equations <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:msub> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>−</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">div</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>∣</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>=</m:mo> <m:mi>F</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> <m:mspace width="1.0em"/> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∈</m:mo> <m:mi mathvariant="normal">Ω</m:mi> <m:mo>×</m:mo> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>T</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:math> {u}_{t}-{\rm{div}}\left({\mathcal{A}}\left(z,| \nabla u| )\nabla u)=F\left(z,u,\nabla u),\hspace{1.0em}z=\left(x,t)\in \Omega \times \left(0,T), with the double phase flux <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">A</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mo>∣</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mspace width="-0.25em"/> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>a</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mspace width="-0.25em"/> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>q</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>z</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:mrow> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>∇</m:mo> </m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:math> {\mathcal{A}}\left(z,| \nabla u| )\nabla u=(| \nabla u{| }^{p\left(z)-2}+a\left(z)| \nabla u{| }^{q\left(z)-2})\nabla u and the nonlinear source <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>F</m:mi> </m:math> F . The initial function belongs to a Musielak-Orlicz space defined by the flux. The functions <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mi>a</m:mi> </m:math> a ,

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