Normalized solutions for a coupled fractional Schrödinger system in low dimensions
Meng Li, Jinchun He, Haoyuan Xu, Meihua Yang
Abstract
Abstract We consider the following coupled fractional Schrödinger system: $$ \textstyle\begin{cases} (-\Delta )^{s}u+\lambda _{1}u=\mu _{1} \vert u \vert ^{2p-2}u+ \beta \vert v \vert ^{p} \vert u \vert ^{p-2}u, \\ (-\Delta )^{s}v+\lambda _{2}v=\mu _{2} \vert v \vert ^{2p-2}v+\beta \vert u \vert ^{p} \vert v \vert ^{p-2}v \end{cases}\displaystyle \quad \text{in } {\mathbb{R}^{N}}, $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mtext>in </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> with $0< s<1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:math> , $2s< N\le 4s$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:math> and $1+\frac{2s}{N}< p<\frac{N}{N-2s}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mfrac> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> , under the following constraint: $$ \int _{\mathbb{R}^{N}} \vert u \vert ^{2}\,dx=a_{1}^{2} \quad \text{and}\quad \int _{ \mathbb{R}^{N}} \vert v \vert ^{2}\,dx=a_{2}^{2}. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mspace/> <mml:mtext>and</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:msup> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mspace/> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math> Assuming that the parameters $\mu _{1}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> , $\mu _{2}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> , $a_{1}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> , $a_{2}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> are fixed quantities, we prove the existence of normalized solution for different ranges of the coupling parameter $\beta >0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:math> .