Proof of Sarkar–Kumar’s conjectures on average entanglement entropies over the Bures–Hall ensemble

Abstract

Abstract Sarkar and Kumar recently conjectured (2019 J. Phys. A: Math. Theor. 52 295203) that for a bipartite system of Hilbert dimension mn , the mean values of quantum purity and von Neumann entropy of a subsystem of dimension m ⩽ n over the Bures–Hall measure are given by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>m</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ψ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> respectively, where ψ 0 (⋅) is the digamma function. We prove the above conjectured formulas in this work. A key ingredient of the proofs is Forrester and Kieburg’s discovery on the connection between the Bures–Hall ensemble and the Cauchy–Laguerre biorthogonal ensemble studied by Bertola et al .

Topics & Concepts