The fractional $$p\,$$-biharmonic systems: optimal Poincaré constants, unique continuation and inverse problems
Manas Kar, Jesse Railo, Philipp Zimmermann
Abstract
Abstract This article investigates nonlocal, quasilinear generalizations of the classical biharmonic operator $$(-\Delta )^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:math> . These fractional p -biharmonic operators appear naturally in the variational characterization of the optimal fractional Poincaré constants in Bessel potential spaces. We study the following basic questions for anisotropic fractional p -biharmonic systems: existence and uniqueness of weak solutions to the associated interior source and exterior value problems, unique continuation properties, monotonicity relations, and inverse problems for the exterior Dirichlet-to-Neumann maps. Furthermore, we show the UCP for the fractional Laplacian in all Bessel potential spaces $$H^{t,p}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> for any $$t\in {\mathbb R}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$1 \le p < \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$s \in {\mathbb R}_+ {\setminus } {\mathbb N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>\</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> : If $$u\in H^{t,p}({\mathbb R}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> satisfies $$(-\Delta )^su=u=0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in a nonempty open set V , then $$u\equiv 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>≡</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in $${\mathbb R}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> . This property of the fractional Laplacian is then used to obtain a UCP for the fractional p -biharmonic systems and plays a central role in the analysis of the associated inverse problems. Our proofs use variational methods and the Caffarelli–Silvestre extension.