Statistical limits of spiked tensor models

Abstract

Nous étudions les limites statistiques pour détecter et estimer une déformation de rang un d’un tenseur Gaussien symétrique aléatoire. Nous établissons une borne inférieure et une borne supérieure sur le rapport signal-bruit critique, sous diverses lois a priori pour le vecteur planté: (i) un vecteur unité aléatoire uniforme, (ii) des entrées i.i.d. $\pm1$, et (iii) un vecteur creux où une fraction constante $\rho$ d’entrées sont i.i.d. $\pm1$ et les autres nulles. Pour chacun de ces cas, nos bornes supérieures et inférieures coïncident à un facteur $1+o(1)$ près quand l’ordre $d$ du tenseur devient grand. Pour des signaux creux (iii), nos bornes sont aussi asymptotiquement tendues dans la limite $\rho\to0$ pour tout $d$ fixé (incluant le cas $d=2$ du PCA creux). Notre borne supérieure pour (i) montre un phénomène rappelant le travail de Baik, Ben Arous et Péché: une valeur propre du tenseur perturbé émerge de l’intérieur du spectre à un rapport signal-bruit strictement inférieur que quand la perturbation elle-même sort de l’intérieur du spectre; nous quantifions la taille de cet effet. Nous donnons aussi des résultats généraux pour une grande classe de lois a priori. En particulier, l’asymptotique quand $d$ devient grand de la valeur de seuil diffère entre les problèmes avec lois a priori discrètes et continues. Finalement, pour les lois a priori (i) et (ii), nous vérifions la prédiction issue de la méthode des répliques en physique statistique, qui est conjecturée donner l’information théorique exacte sur le seuil pour tout $d$ fixé. D’un intérêt indépendant, nous introduisons une amélioration à la méthode du second moment par contiguïté, sur laquelle notre borne inférieure est basée. Notre méthode conditionne loin les rares « mauvais » événements qui dépendent des interactions entre le signal et le bruit. Ceci nous permet de résoudre le trou de facteur $\sqrt{2}$ présent dans les articles précédents.

Topics & Concepts