Boundedness Through Nonlocal Dampening Effects in a Fully Parabolic Chemotaxis Model with Sub and Superquadratic Growth

Abstract

Abstract This work deals with a chemotaxis model where an external source involving a sub and superquadratic growth effect contrasted by nonlocal dampening reaction influences the motion of a cell density attracted by a chemical signal. We study the mechanism of the two densities once their initial configurations are fixed in bounded impenetrable regions; in the specific, we establish that no gathering effect for the cells can appear in time provided that the dampening effect is strong enough. Mathematically, we are concerned with this problem $$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} u_t=\Delta u-\chi \nabla \cdot (u\nabla v)+au^\alpha -bu^\alpha \int _\Omega u^\beta &amp;{}\textrm{in}\ \Omega \times (0, T_{max}),\\ \tau v_t=\Delta v-v+u &amp;{}\textrm{in}\ \Omega \times (0, T_{max}),\\ u_\nu =v_\nu =0 &amp;{}\textrm{on}\ \partial \Omega \times (0, T_{max}),\\ u(x, 0)=u_0(x)\ge 0, v(x,0)=v_0(x)\ge 0, &amp;{}x \in {\bar{\Omega }}, \end{array}\right. } \quad {\Diamond } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>χ</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>β</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>max</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>τ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>max</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>max</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow>

Topics & Concepts