Doob’s and Burkholder-Davis-Gundy inequalities with variable exponent
Ferenc Weisz
Abstract
Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p left-parenthesis dot right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p(\cdot )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a measurable function defined on a probability space <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="normal upper Omega"> <mml:semantics> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\Omega</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript minus Baseline colon-equal inf Underscript x element-of normal upper Omega Endscripts p left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-REL"> <mml:mo>≔</mml:mo> </mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">inf</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p_- \colonequals \inf _{x\in \Omega }p(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="p Subscript plus Baseline colon-equal sup Underscript x element-of normal upper Omega Endscripts p left-parenthesis x right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-REL"> <mml:mo>≔</mml:mo> </mml:mrow> <mml:munder> <mml:mo movablelimits="true" form="prefix">sup</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> Ω </mml:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">p_+\colonequals \sup _{x\in \Omega }p(x)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Under a probabilistic version of the log-Hölder continuity of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 slash p left-parenthesis dot right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mo> ⋅ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1/p(\cdot )</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , Doob’s inequality is proved if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 greater-than p Subscript minus Baseline less-than-or-equal-to p Subscript plus Baseline less-than-or-equal-to normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>></mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1>p_- \leq p_+ \leq \infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> . Dual Doob’s inequality, the Davis decomposition and the generalization of the Burkholder-Davis-Gundy inequality is also verified for <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="1 less-than-or-equal-to p Subscript minus Baseline less-than-or-equal-to p Subscript plus Baseline greater-than normal infinity"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> </mml:msub> <mml:mo> ≤ </mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∞ </mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">1 \leq p_- \leq p_+>\infty</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> .