The full four-loop cusp anomalous dimension in $$ \mathcal{N} $$ = 4 super Yang-Mills and QCD
Johannes M. Henn, G.P. Korchemsky, Bernhard Mistlberger
Abstract
A bstract We present the complete formula for the cusp anomalous dimension at four loops in QCD and in maximally supersymmetric Yang-Mills. In the latter theory it is given by $$ {\left.{\Gamma}_{\mathrm{cusp},\mathrm{A}}\right|}_{\alpha_s^4}=-{\left(\frac{\alpha_sN}{\pi}\right)}^4\left[\frac{73{\pi}^6}{20160}+\frac{\zeta_3^2}{8}+\frac{1}{N^2}\left(\frac{31{\pi}^6}{5040}+\frac{9{\zeta}_3^2}{4}\right)\right]. $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mi>Γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mtext>cusp</mml:mtext> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>π</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mfenced> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>73</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn>20160</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mn>8</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>31</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>π</mml:mi> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mn>5040</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:msubsup> <mml:mi>ζ</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:math> Our approach is based on computing the correlation function of a rectangular light-like Wilson loop with a Lagrangian insertion, normalized by the expectation value of the Wilson loop. In maximally supersymmetric Yang-Mills theory, this ratio is a finite function of a cross-ratio and the coupling constant. We compute it to three loops, including the full colour dependence. Integrating over the position of the Lagrangian insertion gives the four-loop Wilson loop. We extract its leading divergence, which determines the four-loop cusp anomalous dimension. Finally, we employ a supersymmetric decomposition to derive the last missing ingredient in the corresponding QCD result.