Boundary regularity and stability for spaces with Ricci bounded below

Abstract

Abstract This paper studies the structure and stability of boundaries in noncollapsed $${{\,\mathrm{RCD}\,}}(K,N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mspace/> <mml:mi>RCD</mml:mi> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>K</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> spaces, that is, metric-measure spaces $$(X,{\mathsf {d}},{\mathscr {H}}^N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> with Ricci curvature bounded below. Our main structural result is that the boundary $$\partial X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is homeomorphic to a manifold away from a set of codimension 2, and is $$N-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> rectifiable. Along the way, we show effective measure bounds on the boundary and its tubular neighborhoods. These results are new even for Gromov–Hausdorff limits $$(M_i^N,{\mathsf {d}}_{g_i},p_i) \rightarrow (X,{\mathsf {d}},p)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of smooth manifolds with boundary, and require new techniques beyond those needed to prove the analogous statements for the regular set, in particular when it comes to the manifold structure of the boundary $$\partial X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . The key local result is an $$\varepsilon $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>ε</mml:mi> </mml:math> -regularity theorem, which tells us that if a ball $$B_{2}(p)\subset X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is sufficiently close to a half space $$B_{2}(0)\subset {\mathbb {R}}^N_+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> in the Gromov–Hausdorff sense, then $$B_1(p)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> is biHölder to an open set of $${\mathbb {R}}^N_+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> . In particular, $$\partial X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> is itself homeomorphic to $$B_1(0^{N-1})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> near $$B_1(p)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . Further, the boundary $$\partial X$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>X</mml:mi>

Topics & Concepts