Least energy solutions to a cooperative system of Schrödinger equations with prescribed $$L^2$$-bounds: at least $$L^2$$-critical growth

Abstract

Abstract We look for least energy solutions to the cooperative systems of coupled Schrödinger equations $$\begin{aligned} \left\{ \begin{array}{l} -\Delta u_i + \lambda _i u_i = \partial _iG(u)\quad \mathrm {in} \ {\mathbb {R}}^N, \ N \ge 3,\\ u_i \in H^1({\mathbb {R}}^N), \\ \int _{{\mathbb {R}}^N} |u_i|^2 \, dx \le \rho _i^2 \end{array} \right. i\in \{1,\ldots ,K\} \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mfenced><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>Δ</mml:mi><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>=</mml:mo><mml:msub><mml:mi>∂</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mi>G</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mspace/><mml:mi>in</mml:mi><mml:mspace/><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>,</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mrow/><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:mfenced><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mrow><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> with $$G\ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>G</mml:mi><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , where $$\rho _i&gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>&gt;</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> is prescribed and $$(\lambda _i, u_i) \in {\mathbb {R}}\times H^1 ({\mathbb {R}}^N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>λ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mi>R</mml:mi><mml:mo>×</mml:mo><mml:msup><mml:mi>H</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> is to be determined, $$i\in \{1,\dots ,K\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>⋯</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math> . Our approach is based on the minimization of the energy functional over a linear combination of the Nehari and Pohožaev constraints intersected with the product of the closed balls in $$L^2({\mathbb {R}}^N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> of radii $$\rho _i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math> , which allows to provide general growth assumptions about G and to know in advance the sign of the corresponding Lagrange multipliers. We assume that G has at least $$L^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup></mml:math> -critical growth at 0 and admits Sobolev critical growth. The more assumptions we make about G , N , and K , the more can be said about the minimizers of the corresponding energy functional. In particular, if $$K=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>K</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:mrow></mml:math> , $$N\in \{3,4\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>3</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>4</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math> , and G satisfies further assumptions, then $$u=(u_1,u_2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> is normalized, i.e., $$\int _{{\mathbb {R}}^N} |u_i|^2 \, dx=\rho _i^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>N</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:msub><mml:mi>u</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>ρ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msubsup></mml:mrow></mml:math> for $$i\in \{1,2\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>{</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>}</mml:mo></mml:mrow></mml:math> .

Topics & Concepts