Nonexistence and parameter range estimates for convolution differential equations

Abstract

We consider nonlocal differential equations with convolution coefficients of the form <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus upper M left-parenthesis left-parenthesis a asterisk u Superscript q Baseline right-parenthesis left-parenthesis 1 right-parenthesis right-parenthesis u left-parenthesis t right-parenthesis equals lamda f left-parenthesis t comma u left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis comma t element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis comma"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo> ∗ </mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo> ∈ </mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\begin{equation} -M\Big (\big (a*u^q\big )(1)\Big )u(t)=\lambda f\big (t,u(t)\big ),t\in (0,1),\notag \end{equation}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </disp-formula> and we demonstrate an explicit range of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="lamda"> <mml:semantics> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\lambda</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for which this problem, subject to given boundary data, will not admit a nontrivial positive solution; if <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="a identical-to 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo> ≡ </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">a\equiv 1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> , then the model case <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="minus upper M left-parenthesis double-vertical-bar u double-vertical-bar Subscript upper L Sub Superscript q Subscript left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis Superscript q Baseline right-parenthesis u left-parenthesis t right-parenthesis equals lamda f left-parenthesis t comma u left-parenthesis t right-parenthesis right-parenthesis comma t element-of left-parenthesis 0 comma 1 right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mo fence="false" stretchy="false"> ‖ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.623em" minsize="1.623em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> λ </mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo stret

Topics & Concepts