Taylor theory associated with Hahn difference operator
Karima M. Oraby, Alaa E. Hamza
Abstract
Abstract In this paper, we establish Taylor theory based on Hahn’s difference operator $D_{q,\omega}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow></mml:msub></mml:math> which is defined by $D_{q,\omega}f(t)=\frac{f(qt+\omega)-f(t)}{t(q-1)+\omega}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>D</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mfrac><mml:mrow><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>ω</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math> , $t\neq\frac {\omega}{1-q}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>≠</mml:mo><mml:mfrac><mml:mi>ω</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>q</mml:mi></mml:mrow></mml:mfrac></mml:math> , where $q\in(0,1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> and ω is a positive number.