Multi-bump solutions for the nonlinear magnetic Schrödinger equation with exponential critical growth in $${\mathbb {R}}^{2}$$
Chao Ji, Vicenţiu D. Rădulescu
Abstract
Abstract In this paper, using variational methods, we establish the existence and multiplicity of multi-bump solutions for the following nonlinear magnetic Schrödinger equation $$\begin{aligned} -(\nabla +\mathrm{i} A(x))^2 u+(\lambda V(x)+Z(x))u=f(\vert u\vert ^{2})u\quad \text {in}\, \,{\mathbb {R}}^{2}, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>V</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mspace/> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\lambda >0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , f ( t ) is a continuous function with exponential critical growth, the magnetic potential $$A:{\mathbb {R}}^2\rightarrow {\mathbb {R}}^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is in $$L^{2}_{loc}({\mathbb {R}}^2)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>loc</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and the potentials V , $$Z:{\mathbb {R}}^{2}\rightarrow {\mathbb {R}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> are continuous functions verifying some natural conditions. We show that if the zero set of the potential V has several isolated connected components $$\Omega _{1}, \ldots , \Omega _{k}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> such that the interior of $$\Omega _{j}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> is non-empty and $$\partial \Omega _{j}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is smooth, then for $$\lambda >0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> large enough, the equation has at least $$2^{k}-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> multi-bump solutions.