Subcritical well-posedness results for the Zakharov–Kuznetsov equation in dimension three and higher
Sebastian Herr, Shinya Kinoshita
Abstract
The Zakharov–Kuznetsov equation in space dimension <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is considered. It is proved that the Cauchy problem is locally well-posed in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> in the full subcritical range <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , which is optimal up to the endpoint. As a corollary, global well-posedness in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and, under a smallness condition, in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>ℝ</mml:mi> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , follow.