On Christol’s conjecture
Y Abdelaziz, C Koutschan, J-M Maillard
Abstract
Abstract We show that the unresolved examples of Christol’s conjecture <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace"/> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>5</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>8</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mspace width="thinmathspace"/> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced close=")" open="("> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>9</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>7</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>9</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">[</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> , are indeed diagonals of rational functions. We also show that other 3 F 2 and 4 F 3 unresolved examples of Christol’s conjecture are diagonals of rational functions. Finally we give two arguments that show that it is likely that the 3 F 2 ([1/9, 4/9, 5/9], [1/3, 1], 27 ⋅ x ) function is a diagonal of a rational function.