Spectrality of random convolutions generated by finitely many Hadamard triples

Abstract

Abstract Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mi>j</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mtext>⩽</mml:mtext> <mml:mi>j</mml:mi> <mml:mtext>⩽</mml:mtext> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:math> be finitely many Hadamard triples in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . Given a sequence of positive integers <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">∞</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>m</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> be the infinite convolution given by <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" overflow="scroll"> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em 2em 0.2777777777777778em" rowspacing="3pt"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mfenced close="}" open="{"> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mi>k</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∗</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ω</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup>

Topics & Concepts