Stability of Hardy Littlewood Sobolev inequality under bubbling
Shrey Aryan
Abstract
Abstract In this note we will generalize the results deduced in Figalli and Glaudo (Arch Ration Mech Anal 237(1):201–258, 2020) and Deng et al. (Sharp quantitative estimates of Struwe’s Decomposition. Preprint http://arxiv.org/abs/2103.15360 , 2021) to fractional Sobolev spaces. In particular we will show that for $$s\in (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , $$n>2s$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and $$\nu \in \mathbb {N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> there exists constants $$\delta = \delta (n,s,\nu )>0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$C=C(n,s,\nu )>0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>ν</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> such that for any function $$u\in \dot{H}^s(\mathbb {R}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> satisfying, $$\begin{aligned} \left\| u-\sum _{i=1}^{\nu } \tilde{U}_{i}\right\| _{\dot{H}^s} \le \delta \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:munderover> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mover> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>˙</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\tilde{U}_{1}, \tilde{U}_{2},\ldots \tilde{U}_{\nu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:msub> <mml:mover> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mo>~</mml:mo> </mml:mover> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> is a $$\delta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>δ</mml:mi> </mml:math> -interacting family of Talenti bubbles, there exists a family of Talenti bubbles $$U_{1}, U_{2},\ldots U_{\nu }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>U</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> such that $$\begin{aligned} \left\| u-\sum _{i=1}^{\nu } U_{i}\right\| _{\dot{H}^s} \le C\left\{ \begin{array}{ll} \Gamma &{} \text{ if } 2s< n < 6s,\\ \Gamma |\log \Gamma |^{\frac{1}{2}} &{} \text{ if } n=6s, \\ \Gamma ^{\frac{p}{2}} &{} \text{ if } n > 6s \end{array}\right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:munderover> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>