Normalized multibump solutions to nonlinear Schrödinger equations with steep potential well

Abstract

Abstract We are concerned with the existence of multibump solutions to the nonlinear Schrödinger equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mspace width="6em"/> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace width="1em"/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> with an L 2 -constraint <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>ρ</mml:mi> </mml:math> in the L 2 -subcritical case σ ∈ (0, 2/ N ) and the L 2 -supercritical case σ ∈ (2/ N , 2*/ N ), where the usual critical Sobolev exponent is 2* = +∞ if N = 1, 2 and 2* = 2 N /( N − 2) if N ⩾ 3. Here <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:math> will arise as a Lagrange multiplier, and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi>L</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo form="prefix" movablelimits="false">loc</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> has a bottom int a −1 (0) composed of ℓ 0 ( ℓ 0 ⩾ 1) connected components <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>ℓ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> , where int a −1 (0) is the interior of the zero set <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup>

Topics & Concepts