Blow-up of non-radial solutions for the <i>L</i> ² critical inhomogeneous NLS equation

Abstract

Abstract We consider the L 2 critical inhomogeneous nonlinear Schrödinger equation in <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mi>b</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> where N ⩾ 1 and 0 &lt; b &lt; min{2, N }. We prove that if <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> satisfies E [ u 0 ] &lt; 0, then the corresponding solution blows-up in finite time. This is in sharp contrast to the classical L 2 critical nonlinear Schrödinger equation where this type of result is only known in the radial case for N ⩾ 2.

Topics & Concepts