Hankel, Toeplitz, and Hermitian-Toeplitz Determinants for Certain Close-to-convex Functions

Abstract

Abstract Let f be analytic in $$\mathbb {D}=\{z\in \mathbb {C}:|z|&lt;1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , and be given by $$f(z)=z+\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}z^{n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mo>∑</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . We give sharp bounds for the second Hankel determinant, some Toeplitz, and some Hermitian-Toeplitz determinants of functions in the class of Ozaki close-to-convex functions, together with a sharp bound for the Zalcman functional $$J_{2,3}(f).$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>J</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math>

Topics & Concepts