The Vlasov–Poisson–Landau system in the weakly collisional regime

Abstract

Consider the Vlasov–Poisson–Landau system with Coulomb potential in the weakly collisional regime on a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="3"> <mml:semantics> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:annotation encoding="application/x-tex">3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> -torus, i.e. <disp-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartLayout 1st Row partial-differential Subscript t Baseline upper F left-parenthesis t comma x comma v right-parenthesis plus v Subscript i Baseline partial-differential Subscript x Sub Subscript i Subscript Baseline upper F left-parenthesis t comma x comma v right-parenthesis plus upper E Subscript i Baseline left-parenthesis t comma x right-parenthesis partial-differential Subscript v Sub Subscript i Subscript Baseline upper F left-parenthesis t comma x comma v right-parenthesis equals nu upper Q left-parenthesis upper F comma upper F right-parenthesis left-parenthesis t comma x comma v right-parenthesis comma 2nd Row upper E left-parenthesis t comma x right-parenthesis equals nabla normal upper Delta Superscript negative 1 Baseline left-parenthesis integral Underscript double-struck upper R cubed Endscripts upper F left-parenthesis t comma x comma v right-parenthesis normal d v minus integral minus Subscript double-struck upper T cubed Baseline integral Underscript double-struck upper R cubed Endscripts upper F left-parenthesis t comma x comma v right-parenthesis normal d v normal d x right-parenthesis comma EndLayout"> <mml:semantics> <mml:mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" rowspacing="3pt" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" side="left" displaystyle="true"> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi mathvariant="normal"> ∂ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi> ν </mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ∇ </mml:mi> <mml:msup> <mml:mi mathvariant="normal"> Δ </mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo> ∫ </mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mspace width="thinmathspace"/> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="normal">d</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo> − </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">

Topics & Concepts