Regularity for Double Phase Problems at Nearly Linear Growth
Cristiana De Filippis, Giuseppe Mingione
Abstract
Abstract Minima of functionals of the type $$\begin{aligned} w\mapsto \int _{\varOmega }\left[ |Dw|\log (1+|Dw|)+a(x)|Dw|^{q}\right] \, \textrm{d}x, \quad 0\le a(\cdot ) \in C^{0, \alpha }, \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>log</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>w</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>q</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfenced> <mml:mspace/> <mml:mtext>d</mml:mtext> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>a</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> with $$\varOmega \subset {\mathbb {R}}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>⊂</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , have locally Hölder continuous gradient provided $$1< q < 1+\alpha /n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>q</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>/</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> .