Gradient regularity in mixed local and nonlocal problems
Cristiana De Filippis, Giuseppe Mingione
Abstract
Abstract Minimizers of functionals of the type $$\begin{aligned} w\mapsto \int _{\Omega }[|Dw|^{p}-fw]\,\textrm{d}x+\int _{{\mathbb {R}}^{n}}\int _{{\mathbb {R}}^{n}}\frac{|w(x)-w(y)|^{\gamma }}{|x-y|^{n+s\gamma }}\,\textrm{d}x\,\textrm{d}y\end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:mrow><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>↦</mml:mo><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:msub><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>[</mml:mo><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mi>w</mml:mi><mml:mo>]</mml:mo><mml:mspace/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo></mml:mrow><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:msub><mml:mo>∫</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:msub><mml:mfrac><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>w</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>γ</mml:mi></mml:msup><mml:msup><mml:mrow><mml:mo>|</mml:mo><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo><mml:mi>y</mml:mi><mml:mo>|</mml:mo></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:mfrac><mml:mspace/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>x</mml:mi><mml:mspace/><mml:mtext>d</mml:mtext><mml:mi>y</mml:mi></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:mrow></mml:math> with $$p, \gamma>1>s >0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mrow></mml:math> and $$p> s\gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>></mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>γ</mml:mi></mml:mrow></mml:math> , are locally $$C^{1, \alpha }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>C</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>α</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> -regular in $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Ω</mml:mi></mml:math> and globally Hölder continuous.