Concentrating solutions for double critical fractional Schrödinger-Poisson system with <i>p</i> -Laplacian in ℝ ³

Abstract

Abstract In this article, we consider the following double critical fractional Schrödinger-Poisson system involving p -Laplacian in <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msup> </m:math> {{\mathbb{R}}}^{3} of the form: <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"> <m:mrow> <m:mfenced open="{" close=""> <m:mrow> <m:mtable displaystyle="true"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">V</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>ϕ</m:mi> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>♯</m:mi> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>=</m:mo> <m:msup> <m:mrow> <m:mo>∣</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>∣</m:mo> </m:mrow> <m:mrow> <m:msubsup> <m:mrow> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mo>*</m:mo> </m:mrow> </m:msubsup> <m:mo>−</m:mo> <m:mn>2</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>+</m:mo> <m:mi>f</m:mi> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> <m:mspace width="1em"/> <m:mstyle> <m:mspace width="0.1em"/> <m:mtext>in</m:mtext> <m:mspace width="0.1em"/> </m:mstyle> <m:mspace width="0.33em"/> <m:msup> <m:mrow> <m:mi mathvariant="double-struck">R</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mn>3</m:mn> </m:mrow> </m:msup> <m:mo>,</m:mo> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="left"> <m:msup> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> <m:mi>p</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:msup> <m:mrow> <m:mrow> <m:mo>(</m:mo> <m:mrow> <m:mo>−</m:mo> <m:mi>Δ</m:mi> </m:mrow> <m:mo>)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> <m:mrow> <m:mi>s</m:mi> </m:mrow> </m:msup> <m:mi>ϕ</m:mi>

Topics & Concepts