Minimal $(D,D)$ conformal matter and generalizations of the van Diejen model
Belal Nazzal, Anton Nedelin, Shlomo S. Razamat
Abstract
We consider supersymmetric surface defects in compactifications of the 6d <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> minimal (D_{N+3},D_{N+3}) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> conformal matter theories on a punctured Riemann surface. For the case of N=1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> such defects are introduced into the supersymmetric index computations by an action of the BC_1\,(\sim A_1\sim C_1) <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mspace width="0.167em"/> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>∼</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> van Diejen model. We (re)derive this fact using three different field theoretic descriptions of the four dimensional models. The three field theoretic descriptions are naturally associated with algebras A_{N=1} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , C_{N=1} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> , and (A_1)^{N=1} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false" form="prefix">(</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false" form="postfix">)</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . The indices of these 4d <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> theories give rise to three different Kernel functions for the BC_1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> van Diejen model. We then consider the generalizations with N>1 <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . The operators introducing defects into the index computations are certain A_{N} <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> , C_N <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi>