Triangulated categories of framed bispectra and framed motives

Abstract

An alternative approach to the classical Morel–Voevodsky stable motivic homotopy theory <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SH(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is suggested. The triangulated category of framed bispectra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H Subscript n i s Superscript f r Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>nis</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>fr</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SH_{\operatorname {nis}}^{\operatorname {fr}}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and effective framed bispectra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H Subscript n i s Superscript f r comma e f f Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>nis</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>fr</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>eff</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SH_{\operatorname {nis}}^{\operatorname {fr},\operatorname {eff}}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> are introduced in the paper. Both triangulated categories only involve Nisnevich local equivalences and have nothing to do with any kind of motivic equivalences. It is shown that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H Subscript n i s Superscript f r Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>nis</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>fr</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SH_{\operatorname {nis}}^{\operatorname {fr}}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H Subscript n i s Superscript f r comma e f f Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>nis</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>fr</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>eff</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SH_{\operatorname {nis}}^{\operatorname {fr},\operatorname {eff}}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> recover classical Morel–Voevodsky triangulated categories of bispectra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SH(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and effective bispectra <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H Superscript e f f Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>eff</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SH^{\operatorname {eff}}(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> respectively. Also, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">SH(k)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper S upper H Superscript e f f Baseline left-parenthesis k right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>S</mml:mi>

Topics & Concepts