Symplectic analysis of time-frequency spaces

Abstract

We present a different symplectic point of view in the definition of weighted modulation spaces Mmp,q(Rd) and weighted Wiener amalgam spaces W(FLm1p,Lm2q)(Rd). All the classical time-frequency representations, such as the short-time Fourier transform (STFT), the τ-Wigner distributions and the ambiguity function, can be written as metaplectic Wigner distributions μ(A)(f⊗g¯), where μ(A) is the metaplectic operator and A is the associated symplectic matrix. Namely, time-frequency representations can be represented as images of metaplectic operators, which become the real protagonists of time-frequency analysis. In [13], the authors suggest that any metaplectic Wigner distribution that satisfies the so-called shift-invertibility condition can replace the STFT in the definition of modulation spaces. In this work, we prove that shift-invertibility alone is not sufficient, but it has to be complemented by an upper-triangularity condition for this characterization to hold, whereas a lower-triangularity property comes into play for Wiener amalgam spaces. The shift-invertibility property is necessary: Rihaczek and conjugate Rihaczek distributions are not shift-invertible and they fail the characterization of the above spaces. We also exhibit examples of shift-invertible distributions without upper-triangularity condition which do not define modulation spaces. Finally, we provide new families of time-frequency representations that characterize modulation spaces, with the purpose of replacing the time-frequency shifts with other atoms that allow to decompose signals differently, with possible new outcomes in applications. Nous présentons un point de vue symplectique différent dans la définition des espaces de modulation pondérés Mmp,q(Rd) et des espaces de Wiener pondérés W(FLm1p,Lm2q)(Rd). Toutes les représentations classiques temps-fréquence, telles que la transformée de Fourier à court terme (STFT), les distributions de Wigner τ et la fonction d'ambiguité, peuvent être écrites comme des distributions de Wigner métaplectiques μ(A)(f⊗g¯), o ú μ(A) est l'opérateur métaplectique et A est la matrice symplectique associé. Autrement dit, les représentations temps-fréquence peuvent être représentées comme des images d'opérateurs métaplectiques, qui deviennent les véritables protagonistes de l'analyse temps-fréquence. Dans [13], les auteurs suggérent que toute distribution de Wigner métaplectique qui satisfait la soi-disant condition d'inversibilité de translation peut remplacer la STFT dans la définition des espaces de modulation. Dans ce travail, nous prouvons que l'inversibilité de translation seule n'est pas suffisante, mais qu'elle doit être complétée par une condition de triangularité supérieure pour que cette caractérisation soit valable, tandis qu'une propriété de triangularité inférieure entre en jeu pour les espaces de Wiener amalgamés. La propriété d'inversibilité de translation est nécessaire : les distributions de Rihaczek et les distributions de Rihaczek conjuguées ne sont pas inversibles et elles ne satisfont pas la caractérisation des espaces ci-dessus. Nous présentons également des exemples de distributions inversibles de translation sans condition de triangularité supérieure qui ne définissent pas d'espaces de modulation. Enfin, nous proposons de nouvelles familles de représentations temps-fréquence qui caractérisent les espaces de modulation, dans le but de remplacer les décalages temps-fréquence par d'autres atomes qui permettent de décomposer les signaux différemment, avec de nouveaux résultats possibles dans les applications.

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