On a class of p(x)-Laplacian-like Dirichlet problem depending on three real parameters
Mohamed El Ouaarabi, Chakir Allalou, Saïd Melliani
Abstract
Abstract This research establishes the existence of weak solution for a Dirichlet boundary value problem involving the p ( x )-Laplacian-like operator depending on three real parameters, originated from a capillary phenomena, of the following form: $$\begin{aligned} \displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle -\Delta ^{l}_{p(x)}u+\delta \vert u\vert ^{\alpha (x)-2}u=\mu g(x, u)+\lambda f(x, u, \nabla u) &{} \mathrm {i}\mathrm {n}\ \Omega ,\\ \\ u=0 &{} \mathrm {o}\mathrm {n}\ \partial \Omega , \end{array}\right. \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∇</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow/> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>o</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$\Delta ^{l}_{p(x)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msubsup> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>l</mml:mi> </mml:msubsup> </mml:math> is the p ( x )-Laplacian-like operator, $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> is a smooth bounded domain in $$\mathbb {R}^{N}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:math> , $$\delta ,\mu $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>δ</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , and $$\lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>λ</mml:mi> </mml:math> are three real parameters, and $$p(\cdot ),\alpha (\cdot )\in C_{+}(\overline{\Omega })$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mover> <mml:mi>Ω