On functions preserving regular semimetrics and quasimetrics satisfying the relaxed polygonal inequality

Abstract

Abstract We obtain characterizations of non-negative functions on $$[0,+\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> which preserve some classes of semimetrics. In particular, one of our main results says that for a non-decreasing function $$f:[0,+\infty )\rightarrow [0,+\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> the following statements are equivalent: (i) for any semimetric space ( X , d ), if d satisfies the relaxed polygonal inequality, then so does $$f\circ d$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>∘</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> ; (ii) there exist a constant $$c\geqslant 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>⩾</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and a subadditive function $$g:[0,+\infty ) \rightarrow [0,+\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> such that $$g^{-1}\left( \{ 0 \} \right) = \{ 0 \}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mfenced> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> and $$g\leqslant f \leqslant cg$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>⩽</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We also obtain a complete characterization of functions preserving regularity of a semimetric space in the sense of Bessenyei and Páles. Finally, we give another proof of the theorem of Pongsriiam and Termwuttipong on functions transforming metrics into ultrametrics.

Topics & Concepts