$$\eta ^{(\prime )}$$-meson twist-2 distribution amplitude within QCD sum rule approach and its application to the semi-leptonic decay $$ D_s^+ \rightarrow \eta ^{(\prime )}\ell ^+ \nu _\ell $$

Abstract

Abstract In this paper, we make a detailed discussion on the $$\eta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:math> and $$\eta ^\prime $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> -meson leading-twist light-cone distribution amplitude $$\phi _{2;\eta ^{(\prime )}}(u,\mu )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ϕ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>′</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> by using the QCD sum rules approach under the background field theory. Taking both the non-perturbative condensates up to dimension-six and the next-to-leading order (NLO) QCD corrections to the perturbative part, its first three moments $$\langle \xi ^n_{2;\eta ^{(\prime )}}\rangle |_{\mu _0} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>η</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>′</mml:mo> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:math> with $$n = (2, 4, 6)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>6</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> can be determined, where the initial scale $$\mu _0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> is set as the usual choice of 1 GeV. Numerically, we obtain $$\langle \xi _{2;\eta }^2\rangle |_{\mu _0} =0.231_{-0.013}^{+0.010}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mn>231</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>0.013</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>0.010</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> , $$\langle \xi _{2;\eta }^4 \rangle |_{\mu _0} =0.109_{ - 0.007}^{ + 0.007}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mn>109</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>0.007</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>0.007</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> , and $$\langle \xi _{2;\eta }^6 \rangle |_{\mu _0} =0.066_{-0.006}^{+0.006}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:mi>η</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>6</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>.</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mn>066</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>0.006</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>0.006</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> for $$\eta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>η</mml:mi>

Topics & Concepts