Qualitative analysis of second-order fuzzy difference equation with quadratic term
Qianhong Zhang, Miao Ouyang, Bairong Pan, Fubiao Lin
Abstract
Abstract In this paper, we explore the qualitative features of a second-order fuzzy difference equation with quadratic term $$\begin{aligned} x_{n+1}=A+\frac{Bx_{n}}{x_{n-1}^2},\ \ n=0,1,\ldots . \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> </mml:mfrac> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mo>…</mml:mo> <mml:mo>.</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> Here the parameters $$A, B\in \Re _F^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>B</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℜ</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> and the initial values $$x_0, x_{-1}\in \Re _F^+$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>ℜ</mml:mi> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:mrow> </mml:math> . Utilizing a generalization of division (g-division) of fuzzy numbers, we obtain some sufficient condition on the qualitative features including boundedness, persistence, and convergence of positive fuzzy solution of the model, Moreover two simulation examples are presented to verify our theoretical analysis.