Local uniqueness of blow-up solutions for critical Hartree equations in bounded domain

Abstract

Abstract In this paper we are interested in the following critical Hartree equation $$\begin{aligned} {\left\{ \begin{array}{ll} -\Delta u =\displaystyle {\Big (\int _{\Omega }\frac{u^{2_{\mu }^*} (\xi )}{|x-\xi |^{\mu }}d\xi \Big )u^{2_{\mu }^*-1}}+\varepsilon u,~~~\text {in}~\Omega ,\\ u=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text {on}~\partial \Omega , \end{array}\right. } \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mstyle> <mml:mrow> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:msubsup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msup> </mml:mfrac> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mn>2</mml:mn> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>ε</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>in</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mspace/> <mml:mtext>on</mml:mtext> <mml:mspace/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> where $$N\ge 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$0&lt;\mu \le 4$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , $$\varepsilon &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>ε</mml:mi>

Topics & Concepts