Unique recovery of unknown spatial load in damped Euler–Bernoulli beam equation from final time measured output

Abstract

Abstract In this paper we discuss the unique determination of unknown spatial load F ( x ) in the damped Euler–Bernoulli beam equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> from final time measured output (displacement, u T ( x ) ≔ u ( x , T ) or velocity, ν t , T ( x ) ≔ u t ( x , T )). It is shown in [Hasanov Hasanoglu and Romanov 2017 Introduction to Inverse Problems for Differential Equations (New York: Springer)] that the unique determination of F ( x ) in the undamped wave equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>k</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>G</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> from final time output is not possible. This result is also valid for the undamped beam equation <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="inline" overflow="scroll"> <mml:mi>ρ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>r</mml:mi>

Topics & Concepts