Periodic Solutions to Klein–Gordon Systems with Linear Couplings
Jianyi Chen, Zhitao Zhang, Guijuan Chang, Jing Zhao
Abstract
Abstract In this paper, we study the nonlinear Klein–Gordon systems arising from relativistic physics and quantum field theories <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo>{</m:mo> <m:mtable columnspacing="0pt" displaystyle="true" rowspacing="0pt"> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>-</m:mo> <m:msub> <m:mi>u</m:mi> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>f</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>u</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> <m:mtr> <m:mtd columnalign="right"> <m:mrow> <m:mrow> <m:msub> <m:mi>v</m:mi> <m:mrow> <m:mi>t</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mi>t</m:mi> </m:mrow> </m:msub> <m:mo>-</m:mo> <m:msub> <m:mi>v</m:mi> <m:mrow> <m:mi>x</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mi>x</m:mi> </m:mrow> </m:msub> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>ε</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mi>u</m:mi> </m:mrow> <m:mo>+</m:mo> <m:mrow> <m:mi>g</m:mi> <m:mo></m:mo> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">(</m:mo> <m:mi>t</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>x</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>v</m:mi> <m:mo stretchy="false">)</m:mo> </m:mrow> </m:mrow> </m:mrow> </m:mtd> <m:mtd columnalign="left"> <m:mrow> <m:mrow> <m:mi/> <m:mo>=</m:mo> <m:mn>0</m:mn> </m:mrow> <m:mo>,</m:mo> </m:mrow> </m:mtd> </m:mtr> </m:mtable> </m:mrow> </m:math> \left\{\begin{aligned} \displaystyle{}u_{tt}-u_{xx}+bu+\varepsilon v+f(t,x,u)&\displaystyle=0,\\ \displaystyle v_{tt}-v_{xx}+bv+\varepsilon u+g(t,x,v)&\displaystyle=0,\end{aligned}\right. where <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>u</m:mi> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>v</m:mi> </m:mrow> </m:math> u,v satisfy the Dirichlet boundary conditions on spatial interval <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mo stretchy="false">[</m:mo> <m:mn>0</m:mn> <m:mo>,</m:mo> <m:mi>π</m:mi> <m:mo stretchy="false">]</m:mo> </m:mrow> </m:math> [0,\pi] , <m:math xmlns:m="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <m:mrow> <m:mi>b</m:mi> <m:mo>></m:m