A distributional approach to fractional Sobolev spaces and fractional variation: asymptotics I

Abstract

Abstract We continue the study of the space $$BV^\alpha ({\mathbb {R}}^n)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>B</mml:mi><mml:msup><mml:mi>V</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msup><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow></mml:math> of functions with bounded fractional variation in $${\mathbb {R}}^n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mrow><mml:mi>R</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>n</mml:mi></mml:msup></mml:math> of order $$\alpha \in (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> introduced in our previous work (Comi and Stefani in J Funct Anal 277(10):3373–3435, 2019). After some technical improvements of certain results of Comi and Stefani (2019) which may be of some separated insterest, we deal with the asymptotic behavior of the fractional operators involved as $$\alpha \rightarrow 1^-$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math> . We prove that the $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math> -gradient of a $$W^{1,p}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>W</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>p</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> -function converges in $$L^p$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>L</mml:mi><mml:mi>p</mml:mi></mml:msup></mml:math> to the gradient for all $$p\in [1,+\infty )$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>p</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>[</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>∞</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> as $$\alpha \rightarrow 1^-$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math> . Moreover, we prove that the fractional $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math> -variation converges to the standard De Giorgi’s variation both pointwise and in the $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math> -limit sense as $$\alpha \rightarrow 1^-$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math> . Finally, we prove that the fractional $$\beta $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>β</mml:mi></mml:math> -variation converges to the fractional $$\alpha $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>α</mml:mi></mml:math> -variation both pointwise and in the $$\Gamma $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>Γ</mml:mi></mml:math> -limit sense as $$\beta \rightarrow \alpha ^-$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>β</mml:mi><mml:mo>→</mml:mo><mml:msup><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>-</mml:mo></mml:msup></mml:mrow></mml:math> for any given $$\alpha \in (0,1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mrow><mml:mi>α</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:math> .

Topics & Concepts