Hyers–Ulam stability and hyperstability of a Jensen-type functional equation on 2-Banach spaces
A. Ponmana Selvan, Abbas Najati
Abstract
Abstract The main aim of this paper is to establish the Hyers–Ulam stability and hyperstability of a Jensen-type quadratic mapping in 2-Banach spaces. That is, we prove the various types of Hyers–Ulam stability and hyperstability of the Jensen-type quadratic functional equation of the form $$ g \biggl( \frac{x+y}{2} + z \biggr) + g \biggl( \frac{x+y}{2} - z \biggr) + g \biggl( \frac{x-y}{2} + z \biggr) + g \biggl( \frac{x-y}{2} - z \biggr) = g(x) + g(y) + 4 g(z), $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>x</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>y</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:math> in 2-Banach spaces by using the Hyers direct method.