Stability and periodicity in a mosquito population suppression model composed of two sub-models

Abstract

Abstract In this paper, we propose a mosquito population suppression model which is composed of two sub-models switching each other. We assume that the releases of sterile mosquitoes are periodic and impulsive, only sexually active sterile mosquitoes play a role in the mosquito population suppression process, and the survival probability is density-dependent. For the release waiting period T and the release amount c , we find three thresholds denoted by $$T^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> , $$g^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> , and $$c^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:math> with $$c^*&gt;g^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . We show that the origin is a globally or locally asymptotically stable equilibrium when $$c\ge c^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$T\le T^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , or $$c\in (g^*, c^*)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$T&lt;T^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . We prove that the model generates a unique globally asymptotically stable T -periodic solution when either $$c\in (g^*, c^*)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> and $$T=T^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , or $$c&gt;g^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> and $$T&gt;T^*$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> . Two numerical examples are provided to illustrate our theoretical results.

Topics & Concepts