An enhanced stability criterion for linear time-delayed systems via new Lyapunov–Krasovskii functionals

Abstract

Abstract The stability problem of linear systems with time-varying delays is studied by improving a Lyapunov–Krasovskii functional (LKF). Based on the newly developed LKF, a less conservative stability criterion than some previous ones is derived. Firstly, to avoid introducing the terms with $h^{2}(t)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>h</mml:mi><mml:mn>2</mml:mn></mml:msup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , which are not convenient to directly use the convexity of linear matrix inequality (LMI), the type of integral terms $\{\int _{s}^{t}\dot{x}(u)\,du, \int _{t-h}^{s}\dot{x}(u)\,du\}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>{</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:math> is used in the LKF instead of $\{\int _{s}^{t}x(u)\,du, \int _{t-h}^{s}x(u)\,du\}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>{</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:math> . Secondly, two couples of integral terms $\{\int _{s}^{t}\dot{x}(u)\,du, \int _{t-h(t)}^{s}\dot{x}(u)\,du\}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>{</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:math> , and $\{\int _{s}^{t-h(t)}\dot{x}(u)\,du, \int _{t-h}^{s}\dot{x}(u)\,du\}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mo>{</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mi>s</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mi>s</mml:mi></mml:msubsup><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>}</mml:mo></mml:math> are supplemented in the integral functionals $\int _{t-h(t)}^{t}\dot{x}(u)\,du$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi></mml:msubsup><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> and $\int _{t-h}^{t-h(t)}\dot{x}(u)\,du$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mo>∫</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mi>h</mml:mi><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mover><mml:mi>x</mml:mi><mml:mo>˙</mml:mo></mml:mover><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mspace/><mml:mi>d</mml:mi><mml:mi>u</mml:mi></mml:math> , respectively, so that the time delay, its derivative, and information between them can be fully utilized. Thirdly, the LKF is further augmented by two delay-dependent non-integral items. Finally, three numerical examples are presented under two different delay sets, to show the effectiveness of the proposed approach.

Topics & Concepts