f(Q, T) gravity, its covariant formulation, energy conservation and phase-space analysis
Tee‐How Loo, Raja Solanki, Avik De, P. K. Sahoo
Abstract
Abstract In the present article we analyze the matter-geometry coupled f ( Q , T ) theory of gravity. We offer the fully covariant formulation of the theory, with which we construct the correct energy balance equation and employ it to conduct a dynamical system analysis in a spatially flat Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker spacetime. We consider three different functional forms of the f ( Q , T ) function, specifically, $$f(Q,T)=\alpha Q+ \beta T$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$f(Q,T)=\alpha Q+ \beta T^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> , and $$f(Q,T)=Q+ \alpha Q^2+ \beta T$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . We attempt to investigate the physical capabilities of these models to describe various cosmological epochs. We calculate Friedmann-like equations in each case and introduce some phase space variables to simplify the equations in more concise forms. We observe that the linear model $$f(Q,T)=\alpha Q+ \beta T$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with $$\beta =0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> is completely equivalent to the GR case without cosmological constant $$\Lambda $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Λ</mml:mi> </mml:math> . Further, we find that the model $$f(Q,T)=\alpha Q+ \beta T^2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with $$\beta \ne 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> successfully depicts the observed transition from decelerated phase to an accelerated phase of the universe. Lastly, we find that the model $$f(Q,T)= Q+ \alpha Q^2+ \beta T$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:msup> <mml:mi>Q</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mi>T</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> with $$\alpha \ne 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>α</mml:mi> <mml:mo>≠</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> represents an accelerated de-Sitter epoch for the constraints $$\beta < -1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> or $$ \beta \ge 0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>β</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .