Higher regularity in congested traffic dynamics

Abstract

Abstract In this paper, we consider minimizers of integral functionals of the type $$\begin{aligned} {\mathcal {F}}(u) := \int _\Omega \big [\tfrac{1}{p} \big (|Du|-1)^p_+ + f\cdot u\big ]\mathrm {d}x\nonumber \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:mi>F</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mo>∫</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>[</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mstyle> <mml:mfrac> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mfrac> </mml:mstyle> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>·</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mi>x</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for $$p&gt;1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> in the vectorial case of mappings $$u:{\mathbb {R}}^n\supset \Omega \rightarrow {\mathbb {R}}^N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>⊃</mml:mo> <mml:mi>Ω</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> with $$N\ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . Assuming that f belongs to $$L^{n+\sigma }$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msup> <mml:mi>L</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>σ</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> for some $$\sigma &gt;0$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>σ</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , we prove that $${\mathcal {H}}(Du)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>D</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> is continuous in $$\Omega $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>Ω</mml:mi> </mml:math> for any continuous function $${\mathcal {H}}:{\mathbb {R}}^{Nn}\rightarrow {\mathbb {R}}^{Nn}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>Nn</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>Nn</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> vanishing on $$\{\xi \in {\mathbb {R}}^{Nn} : |\xi |\le 1\}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mo>{</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>Nn</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mi>ξ</mml:mi> <mml:mo>|</mml:mo> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>}</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> . This extends previous results of Santambrogio and Vespri (Nonlinear Anal 73:3832–3841, 2010) when $$n=2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , and Colombo and Figalli (J Math Pures Appl (9) 101(1):94–117, 2014) for $$n\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , to the vectorial case $$N\ge 1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> .

Topics & Concepts