Higher Hölder regularity for the fractional p-Laplace equation in the subquadratic case
Prashanta Garain, Erik Lindgren
Abstract
Abstract We study the fractional p -Laplace equation $$\begin{aligned} (-\Delta _p)^s u = 0 \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:msub> <mml:mi>Δ</mml:mi> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>s</mml:mi> </mml:msup> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> for $$0<s<1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>s</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and in the subquadratic case $$1<p<2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo><</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . We provide Hölder estimates with an explicit Hölder exponent. The inhomogeneous equation is also treated and there the exponent obtained is almost sharp for a certain range of parameters. Our results complement the previous results for the superquadratic case when $$p\ge 2$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>≥</mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> . The arguments are based on a careful Moser-type iteration and a perturbation argument.