Time reversal of diffusion processes under a finite entropy condition
Patrick Cattiaux, Giovanni Conforti, Ivan Gentil, Christian Léonard
Abstract
L’étude du retournement du temps des processus de diffusion est reprise en vue d’applications au transport entropique optimal. On prouve une formule d’intégration par parties pour le carré du champ d’un processus de Markov dans un espace abstrait qui nous permet d’obtenir une formule de retournement du temps pour une grande classe de processus de diffusion à valeurs dans Rn dont les coefficients de dérive peuvent présenter des singularités, étendant en cela les résultats antérieurs sur le sujet. La preuve de la formule d’intégration par parties se fait à l’aide de dérivées stochastiques. Cette formule nous permet de calculer les caractéristiques de la semi-martingale de loi P∗ retournée temporelle de la loi P d’une diffusion, sous l’hypothèse que l’entropie relative de P par rapport à une mesure de chemins R de référence dont on connait les caractéristiques de la semi-martingale de loi retournée R∗, par exemple lorsque R est réversible. Pour illustrer la flexibilité de cette méthode, la formule d’intégration par parties est aussi utilisée pour prouver une formule de retournement du temps pour des marches aléatoires sur des graphes.