Sampling of probability measures in the convex order by Wasserstein projection
Aurélien Alfonsi, Jacopo Corbetta, Benjamin Jourdain
Abstract
Soient $\mu $ et $\nu $ deux mesures de probabilité sur $\mathbb{R}^{d}$ ayant un moment d’ordre $\varrho \ge 1$ fini. Dans ce papier, nous définissons respectivement les projections de $\mu $ et $\nu $ pour la distance de Wasserstein $W_{\varrho}$ sur l’ensemble des probabilités dominées par $\nu $ et sur l’ensemble des probabilités dominant $\mu $ pour l’ordre convexe. Pour $\varrho =2$, la projection de $\mu $ peut facilement être calculée lorsque $\mu $ et $\nu $ ont un support fini en résolvant un problème de minimisation quadratique avec des contraintes linéaires. En dimension $d=1$, Gozlan et al. (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 54 (3) (2018) 1667–1693) ont montré que la projection de $\mu $ ne dépend pas de $\varrho $. Nous donnons ici l’expression de la fonction quantile de cette projection à l’aide des fonctions quantiles de $\mu $ et $\nu $. La motivation de cette étude est de fournir une méthode d’échantillonage permettant de préserver l’ordre convexe. Cela permet ensuite d’approcher les problèmes de transport optimal martingale en utilisant un solveur de programmation linéaire. Nous prouvons la convergence des méthodes d’échantillonage basées sur la projection Wasserstein lorsque la taille des échantillons tend vers l’infini, et illustrons cette convergence par des exemples numériques.