Global boundedness of solutions to a parabolic–parabolic chemotaxis system with local sensing in higher dimensions

Abstract

Abstract This paper deals with classical solutions to the parabolic–parabolic system <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" overflow="scroll"> <mml:mfenced close="" open="{"> <mml:mrow> <mml:mtable class="cases" columnspacing="1"> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>γ</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mspace class="nbsp" width="0.3333em"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi mathvariant="normal">Δ</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>−</mml:mo> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi mathvariant="normal">i</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mspace class="nbsp" width="0.3333em"/> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>v</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mspace width="1em"/> </mml:mtd> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi mathvariant="normal">o</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">n</mml:mi> <mml:mspace class="nbsp" width="0.3333em"/> <mml:mi>∂</mml:mi> <mml:mi mathvariant="normal">Ω</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>,</mml:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd columnalign="left"> <mml:mi>u</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>⋅</mml:mo> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi>u</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mspace width="0.3333em"/> <mml:mi>v</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo>

Topics & Concepts