Existence of solutions for a system of singular sum fractional q-differential equations via quantum calculus

Abstract

Abstract In this study, we discuss the existence of positive solutions for the system of m -singular sum fractional q -differential equations $$ \begin{gathered} D_{q}^{\alpha_{i}} x_{i} + g_{i} \bigl(t, x_{1}, \ldots, x_{m}, D_{q}^{\gamma _{1}} x_{1}, \ldots, D_{q}^{\gamma_{m}} x_{m} \bigr) \\ \quad{} +h_{i} \bigl(t, x_{1}, \ldots, x_{m}, D_{q}^{\gamma_{1}} x_{1}, \ldots, D_{q}^{\gamma_{m}} x_{m} \bigr)=0 \end{gathered} $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mtable><mml:mtr><mml:mtd><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mtd></mml:mtr><mml:mtr><mml:mtd><mml:mspace/><mml:mo>+</mml:mo><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub></mml:msubsup><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>m</mml:mi></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:mtd></mml:mtr></mml:mtable></mml:math> with boundary conditions $x_{i}(0) = x_{i}' (1) = 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>′</mml:mo></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> and $x_{i}^{(k)}(t) = 0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mi>x</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:msubsup><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> whenever $t=0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> , here $2\leq k \leq n-1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>2</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>k</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>−</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> , where $n= [\alpha_{i}]+ 1$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mo>[</mml:mo><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>]</mml:mo><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:math> , $\alpha_{i} \geq2$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>α</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>≥</mml:mo><mml:mn>2</mml:mn></mml:math> , $\gamma_{i} \in(0,1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>γ</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , $D_{q}^{\alpha}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msubsup><mml:mi>D</mml:mi><mml:mi>q</mml:mi><mml:mi>α</mml:mi></mml:msubsup></mml:math> is the Caputo fractional q -derivative of order α , here $q \in(0,1)$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>q</mml:mi><mml:mo>∈</mml:mo><mml:mo>(</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn><mml:mo>,</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> , function $g_{i}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math> is of Carathéodory type, $h_{i}$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>h</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub></mml:math> satisfy the Lipschitz condition and $g_{i} (t , x_{1}, \ldots, x_{2m})$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msub><mml:mi>g</mml:mi><mml:mi>i</mml:mi></mml:msub><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mn>1</mml:mn></mml:msub><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>…</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:msub><mml:mi>x</mml:mi><mml:mrow><mml:mn>2</mml:mn><mml:mi>m</mml:mi></mml:mrow></mml:msub><mml:mo>)</mml:mo></mml:math> is singular at $t=0$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>t</mml:mi><mml:mo>=</mml:mo><mml:mn>0</mml:mn></mml:math> , for $1 \leq i \leq m$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mn>1</mml:mn><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>i</mml:mi><mml:mo>≤</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi></mml:math> . By means of Krasnoselskii’s fixed point theorem, the Arzelà-Ascoli theorem, Lebesgue dominated theorem and some norms, the existence of positive solutions is obtained. Also, we give an example to illustrate the primary effects.

Topics & Concepts