Optimal incompatible Korn–Maxwell–Sobolev inequalities in all dimensions

Abstract

Abstract We characterise all linear maps $${\mathscr {A}}:\mathbb R^{n\times n}\rightarrow \mathbb R^{n\times n}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> such that, for $$1\le p&lt;n$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>&lt;</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , $$\begin{aligned} \left\Vert P\right\Vert _{{\text {L}}^{p^{*}}(\mathbb R^{n})}\le c\,\Big (\left\Vert {\mathscr {A}}[P]\right\Vert _{{\text {L}}^{p^{*}}(\mathbb R^{n})}+\left\Vert {\text {Curl}}P\right\Vert _{{\text {L}}^{p}(\mathbb R^{n})} \Big ) \end{aligned}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext>L</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>≤</mml:mo> <mml:mi>c</mml:mi> <mml:mspace/> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mi>A</mml:mi> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>]</mml:mo> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext>L</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mrow/> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:msub> <mml:mfenced> <mml:mtext>Curl</mml:mtext> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mfenced> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext>L</mml:mtext> </mml:mrow> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:math> holds for all compactly supported $$P\in {\text {C}}_{c}^{\infty }(\mathbb R^{n};\mathbb R^{n\times n})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mtext>C</mml:mtext> <mml:mrow> <mml:mi>c</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:msup> <mml:mo>;</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>n</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , where $${\text {Curl}}P$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mtext>Curl</mml:mtext> <mml:mi>P</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> displays the matrix curl. Being applicable to incompatible, that is, non-gradient matrix fields as well, such inequalities generalise the usual Korn-type inequalities used e.g. in linear elasticity. Different from previous contributions, the results gathered in this paper are applicable to all dimensions and optimal. This particularly necessitates the distinction of different combinations between the ellipticities of $${\mathscr {A}}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>A</mml:mi> </mml:math> , the integrability p and the underlying space dimensions n , especially requiring a finer analysis in the two-dimensional situation.

Topics & Concepts