Condition Numbers for Real Eigenvalues in the Real Elliptic Gaussian Ensemble

Abstract

Abstract We study the distribution of the eigenvalue condition numbers $$\kappa _i=\sqrt{ ({\mathbf{l}}_i^* {\mathbf{l}}_i)({\mathbf{r}}_i^* {\mathbf{r}}_i)}$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mo>∗</mml:mo> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:math> associated with real eigenvalues $$\lambda _i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> of partially asymmetric $$N\times N$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>×</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> random matrices from the real Elliptic Gaussian ensemble. The large values of $$\kappa _i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> signal the non-orthogonality of the (bi-orthogonal) set of left $${\mathbf{l}}_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>l</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and right $${\mathbf{r}}_i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>r</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> eigenvectors and enhanced sensitivity of the associated eigenvalues against perturbations of the matrix entries. We derive the general finite N expression for the joint density function (JDF) $${{\mathcal {P}}}_N(z,t)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>z</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> of $$t=\kappa _i^2-1$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mi>κ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msubsup> <mml:mo>-</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> and $$\lambda _i$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>λ</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> taking value z , and investigate its several scaling regimes in the limit $$N\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . When the degree of asymmetry is fixed as $$N\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> , the number of real eigenvalues is $$\mathcal {O}(\sqrt{N})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , and in the bulk of the real spectrum $$t_i=\mathcal {O}(N)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> , while on approaching the spectral edges the non-orthogonality is weaker: $$t_i=\mathcal {O}(\sqrt{N})$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mi>i</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:msqrt> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:msqrt> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:math> . In both cases the corresponding JDFs, after appropriate rescaling, coincide with those found in the earlier studied case of fully asymmetric (Ginibre) matrices. A different regime of weak asymmetry arises when a finite fraction of N eigenvalues remain real as $$N\rightarrow \infty $$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>→</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> . In such a regime eigenvectors are weakly non-orthogonal, $$t=\mathcal {O}(1)$$ <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo>(</mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:mo>)</mml:mo>

Topics & Concepts